[黎曼積分: 實分析中的關鍵概念]**
前言
在實分析中，創建於19世紀初的黎曼積分是一項非凡的成就，它首次為給定區間上函數的積分提供了一個精確的定義。儘管有一些技術上的侷限，但黎曼積分後來被黎曼-斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分所補足。
定義
設函數
f: [a, b] → R
在閉區間 [a, b] 上非負，我們希望計算它所表示的曲線與 x 座標軸和兩個垂直線 x = a 和 x = b 所圍成的圖形的面積（即右圖所表示的區域 S 的面積）。這個面積可以用以下符號表示：
∫[a, b] f(x) dx
黎曼積分的核心思想是隨着對 x 軸劃分的越來越細緻，相應的矩形面積總和也會越來越接近圖形 S 的面積（見右方第二張圖）。請注意，如果函數是負函數，即 f:[a, b] → R < 0，則其面積也為負值。
取樣分割和精細分割
閉區間 [a, b] 的一個分割是指在此區間內取有限點列：
a = x[0] < x[1] < ... < x[n] = b
其中 x[i] 表示所有介於 a 和 b 之間的 x。
每個閉區間 [x[i], x[i+1]] 稱為一個子區間。
將這些子區間的最大長度定義為：
λ = max(x[i+1] - x[i])
其中 0 ≤ i ≤ n-1。
一個取樣分割是閉區間 [a, b] 的一個分割，其中每個子區間 [x[i], x[i+1]] 中取出一點 t[i]，滿足 x[i] ≤ t[i] ≤ x[i+1]。
λ 的定義仍然相同。
一個分割被稱為另一個分割的「精細化」，如果前者是在後者基礎上增加一些分點和標記。
黎曼和
對於一個在閉區間 [a, b] 上有定義的實值函數 f，關於取樣分割 x[0], …, x[n] 和 t[0], …, t[n-1]，它的黎曼和（積分和）定義為以下和式：
R = ∑(x[i+1] - x[i]) * f(t[i])
其中和式中的每一項都是子區間長度 x[i+1] – x[i] 與在 t[i] 處函數值 f(t[i]) 的乘積。
嚴格定義
函數 f 在閉區間 [a, b] 上的黎曼積分存在，當且僅當對於任意的 ϵ > 0，都存在 δ > 0，使得對於任意的取樣分割 x[0], …, x[n] 和 t[0], …, t[n-1]，只要其子區間長度最大值 λ ≤ δ，就有：
- |R - S| < ϵ
其中 R 是取樣分割的黎曼和，S 是 f 在 [a, b] 上的黎曼積分。
等價定義
另一個等價的黎曼積分定義如下：
函數 f 在閉區間 [a, b] 上的黎曼積分存在，當且僅當對於任意的 ϵ > 0，都存在一個取樣分割 x[0], …, x[n] 和 t[0], …, t[n-1]，使得對於任何比其「精細」的分割，其黎曼和與 f 在 [a, b] 上的黎曼積分相差小於 ϵ。
關係
在閉區間 [a, b] 上，具黎曼積分的兩個函數的和函數也具有黎曼積分。此外，一個函數的積分與一個常數的乘積等於該函數積分的與常數的乘積。
線性泛函
由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定一個區間 [a, b] 後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射
I: f → ∫[a, b] f(x) dx
是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。
上和 下和：積分學中求面積的兩種方法
引言
在積分學中，上和和下和是兩種重要的技術，用於計算函數在給定區間上的面積。這兩種方法都依賴於將區域分割成矩形或梯形的過程，然後找到這些形狀的面積和。
上和
上和使用函數在每個子區間上最大值的矩形來估計區域面積。具體步驟如下：
- 將給定區間 [a, b] 劃分為 n 個子區間 [x_(i-1), x_i]，其中 x_i = a + iΔx，Δx = (b – a) / n。
- 對於每個子區間 [x_(i-1), x_i]，找出函數最大值 M_i = f(c_i)，其中 c_i ∈ [x_(i-1), x_i]。
- 將每個矩形的面積視為 M_iΔx。
- 上和定義為這些矩形面積的和：U(n, f) = Σ (M_iΔx) = Δx(M_1 + M_2 + … + M_n)
下和
下和使用函數在每個子區間上的最小值的矩形來估計區域面積。步驟與上和類似，但使用函數最小值 m_i = f(d_i) 代替最大值。
上和表
| n | U(n, f) | 誤差 |
|---|---|---|
| 4 | 4.200 | 0.060 |
| 8 | 4.125 | 0.025 |
| 16 | 4.094 | 0.014 |
| 32 | 4.078 | 0.008 |
| 64 | 4.070 | 0.004 |
下和表
延伸閲讀…
基礎講義
上和與下和
| n | L(n, f) | 誤差 |
|---|---|---|
| 4 | 3.800 | 0.060 |
| 8 | 3.875 | 0.025 |
| 16 | 3.906 | 0.014 |
| 32 | 3.922 | 0.008 |
| 64 | 3.929 | 0.004 |
比較
上和和下和都提供了區域面積的近似值，但它們的精度不同。一般來説，上和通常提供比下和更接近實際面積的近似值。
應用
上和和下和在許多應用中都有用，包括：
- 計算曲面下的面積
- 求體積
- 計算功
- 求幾何形狀的中心點
結論
上和和下和是積分學中求面積的兩個基本技術。上和使用函數最大值，而下和使用函數最小值。兩者都提供了區域面積的近似值，但上和通常提供更接近實際面積的結果。